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山东自考报名-线性代数考试-知识点

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1. 秩的定义

设A为m×n矩阵,把A中非零子式的最高阶数称为A的秩,记为秩(A)或r(4)

零矩阵的秩为0,因而0≤秩(A)≤min{m,n},对n阶方阵A,若秩(A)=n,称 A为满秩矩阵,否则称为降秩矩阵.

2.秩的求法

由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数,又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A,只要用初等行变换把A 化成阶梯形矩阵T,则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.

3.与满秩矩阵等价的条件

n阶方阵A 满秩⟺ A可逆,即存在 B,使AB = B4=E→A非奇异,即A ≠0

⟺ A的等价标准形为 E

⟺  A可以表示为有限个初等方阵的乘积

⟺ 齐次线性方程组AX= 0)只有零解

⟺ 对任意非零列向量b,非齐次线性方程组,AX =b有唯一解 A的行(列)向量组线性无关

⟺ A的行(列)向量组为Rn的一个基

⟺  任意n维行(列)向量均可以表示为A 的行(列)向量组的线性组合,且表示法唯一.

⟺ A的特征值均不为零

⟺ AA为正定矩阵.

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