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山东自考报名入口-线性代数考试-知识点

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第五部分∶ 公式必记

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2n行列式∶

2. 代数余子式的性质∶

①、Aij和aij的大小无关;

②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;

③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A|;

3. 代数余子式和余子式的关系∶ Mij=(-I)i+jAij        Aij=(-I)i+jMij

4. 设n行列式D∶

将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1=(-1)D;

将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D1,则D1=(-1)D∶

将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,,则D3,=D;

将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D3=D;

5. 行列式的重要公式∶

①、主对角行列式∶主对角元素的乘积;

②、副对角行列式∶ 副对角元素的乘积×(-1)

③、上、下三角行列式(|◥|=|◣|)∶主对角元素的乘积;

④、|◥|和|◣|∶副对角元素的乘积×(-1)

⑥、范德蒙行列式∶ 大指标减小指标的连乘积;

⑦、特征值;

7.证明|A|=0的方法∶

①、|A|=-|A|

②、反证法∶

③、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解;

④、利用秩,证明r(A)<n;

⑤、证明0是其特征值;

2、矩阵

1. A是n阶可逆矩阵∶

⟺ |A|≠0(是非奇异矩阵);

⟺  r(A)=n(是满秩矩阵)

⟺ A的行(列)向量组线性无关;

⟺ 齐次方程组Ax=0有非零解;

⟺ ∀b∈Rn,Ax=b总有唯一解;

⟺ A与E等价;

⟺  A可表示成若干个初等矩阵的乘积;

⟺  A的特征值全不为0∶

⟺  ATA是正定矩阵;

⟺ A的行(列)向量组是 Rn的一组基;

⟺  A是 Rn中某两组基的过渡矩阵∶

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